二次函数是初中数学中相当重要的知识点之一，或许由于二次函数的难度比较大大家都不怎么喜欢二次函数，但是二次函数在中考数学中占据了不小的分值比例，所以大家不得不重视。关于二次函数的定义与定义表达式、二次函数的三种表达式、二次函数的图像、抛物线的性质、二次函数与一元二次方程等重要的基础知识大家必须熟记于心，还没有掌握的同学往这看！

定义与定义表达式

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大），则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

二次函数的三种表达式

一般式：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）

顶点式：y=a（x-h）²+k[抛物线的顶点P（h，k）]

交点式：y=a（x-x₁）（x-x₂）[仅限于与x轴有交点A（x₁，0）和B（x₂，0）的抛物线]

注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：

h=-b/2a 

k=（4ac-b²）/4a 

x₁，x₂=（-b±√b²-4ac）/2a

二次函数的图像

在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）。

2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P（-b/2a，（4ac-b²）/4a）。当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b²-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于（0，c）。

6.抛物线与x轴交点个数：

Δ=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

Δ=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x=-b±√b²－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）

二次函数与一元二次方程

特别地，二次函数（以下称函数）y=ax²+bx+c。

当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax²+bx+c=0。

此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

1.二次函数y=ax²，y=a（x-h）²，y=a（x-h）²+k，y=ax²+bx+c（各式中，a≠0）的图象形状相同，只是位置不同。

它们的顶点坐标及对称轴如下表：

当h>0时，y=a（x-h）²的图象可由抛物线y=ax²向右平行移动h个单位得到。

当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到。

当h>0，k>0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a（x-h）²+k的图象。

当h>0，k<0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a（x-h）²+k的图象。

当h<0，k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a（x-h）²+k的图象。

当h<0，k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a（x-h）²+k的图象。

因此，研究抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的图象，通过配方，将一般式化为y=a（x-h）²+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．

2.抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是（-b/2a，[4ac-b²]/4a）．

3.抛物线y=ax²+bx+c（a≠0），若a>0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小；当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大．若a<0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而增大；当x≥-b/2a时，y随x的增大而减小．

4.抛物线y=ax²+bx+c的图象与坐标轴的交点：

（1）图象与y轴一定相交，交点坐标为（0，c）；

（2）当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A（x₁，0）和B（x₂，0），其中的x1，x2是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根．这两点间的距离AB=|x₂-x₁|。

当△=0．图象与x轴只有一个交点；当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．

5.抛物线y=ax²+bx+c的最值：如果a>0（a<0），则当x=-b/2a时，y最小（大）值=（4ac-b²）/4a．

顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．

6.用待定系数法求二次函数的解析式

（1）当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax²+bx+c（a≠0）．

（2）当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a（x-h）²+k（a≠0）．

（3）当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a（x-x₁）（x-x₂）（a≠0）．

7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．