刚接触高中数学的时候，你觉得集合和函数很简单吗？是不是感觉“没有什么难的，一听就会了。”集合语言是现代数学的基本语言，使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学的一些内容。本章中只将集合作为一种语言来学习，学生将学会使用最基本的集合语言去表示有关的数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力。函数的学习促使学生的数学思维方式发生了重大的转变：思维从静止走向了运动、从运算转向了关系。函数是高中数学的核心内容， 是高中数学课程的一个基本主线，有了这条主线就可以把数学知识编织在一起，这样可以使我们对知识的掌握更牢固一些。同学们都知道高中阶段的数学学习对学生提出了更高的要求，要求学生能够提出问题，分析问题和解决问题，同时还要有数学探究能力，数学建模能力、数学交流能力，数学实践能力，数学思维能力即数学思维方式的形成与应用。

集合的包含关系判断及应用

【知识点的认识】

概念：

1。如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B； 如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A⊂B；

2。如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么我们就说集合A等于集合B，即A=B。

【解题方法点拨】

1。按照子集包含元素个数从少到多排列。

2。注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素。

3。可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系。

4。有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法。

【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系，可以与函数的定义域，三角函数的解集，子集的个数，简易逻辑等知识相结合命题。

函数单调性的判断与证明

【知识点的认识】

一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，

当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数。

若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f（x）的单调区间。

【解题方法点拨】

证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论。

利用函数的导数证明函数单调性的步骤：

第一步：求函数的定义域。若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域。

第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）=0，求其根。

第三步：利用f′（x）=0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表。

第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值。

第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围。

第六步：明确规范地表述结论

【命题方向】

从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法。预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力。

函数奇偶性的性质

【知识点的认识】

①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）=﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称。②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）=f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称。

【解题方法点拨】

①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）=0解相关的未知量；

②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）=﹣f（﹣x）解相关参数；

③偶函数：在定义域内一般是用f（x）=f（﹣x）这个去求解；

④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反。

例题：函数y=x|x|+px，x∈R是（）

A。偶函数 B。奇函数 C。非奇非偶 D。与p有关

解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称。

因为f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣px=﹣x|x|﹣px=﹣f（x），

所以f（x）是奇函数。

故选B。

【命题方向】函数奇偶性的应用。

本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率。