高考数学复习技巧：近代数学的新征程，微积分的建立。想必人人都熟悉牛顿说过一句话：如果我比别人看得更远些，那是因为我站在巨人的肩膀上。解析几何的问世，使得代数方法应用于几何；当时的科学技术对变量的研究提出了更高要求，变量也被引入数学，成为微积分的基石；另一个关键因素则是函数概念的建立。17世纪上半叶，欧洲取得了天文学和力学领域的重大进展。

微积分的先驱

解析几何的问世，使得代数方法应用于几何；当时的科学技术对变量的研究提出了更高要求，变量也被引入数学，成为微积分的基石；另一个关键因素则是函数概念的建立。17世纪上半叶，欧洲取得了天文学和力学领域的重大进展。极具代表的人物是开普勒和伽利略。开普勒的行星运动定理正是用了积分中“微元法”，用无数无限小的元素之和去求曲边形的面积和旋转体的体积，把阿基米德发明的球体积公式做了进一步的一般推广。伽利略的门徒卡瓦列利则发展了“不可分量”的理论，即线、面、立体分别是由无限多个点、线、面组成。因此，他给出了正整数幂函数的定积分；英国数学家沃利斯则给出了根式函数的定积分。笛卡尔和巴罗分别采用代数方法“圆法”和几何方法“微分三角形”的方法，试图求得一般曲线的切线；费尔马则用微分学的方法求取函数的极值。

站在巨人的肩膀上

想必人人都熟悉牛顿说过一句话：如果我比别人看得更远些，那是因为我站在巨人的肩膀上。这当然不难理解，牛顿的重大发现是在前人的基础上的，微积分也是如此。在牛顿之前，已有费尔马这些先驱，已经意识到微积分的一些方法，这些人就是牛顿眼里的巨人了。

牛顿在1665年11月发明了“正流数术”（微分学），次年发明了“反流数术”。与之前研究微积分的学者不同，牛顿把微分和积分作为矛盾的对立面一起考虑。牛顿从运动学的角度在《流数法与无穷级数》中对微分和积分给出了广泛明确的说明。只是他把变量称作“流”，变量的变化率叫做“流数”，因此成为“流数术”。牛顿将他的正、反流数术应用于切线、曲率、拐点、曲线长度、引力等问题的计算。

比牛顿稍晚一些，德国数学家莱布尼茨独立地从几何学的角度发现微积分理论，只是莱布尼茨更早的发表。因此，引发了持久的优先争论。莱布尼茨最先在帕斯卡尔的一篇关于圆的论文中获得灵感；莱布尼茨引入了积分符号，给出了幂级数的微分和积分公式；对微积分，莱布尼茨意识到“求切线不过是求差，求积不过是求和”；确定了微积分基本定理。

莱布尼茨在巴黎的四年里，幸运的遇见了惠更斯，得到了惠更斯的悉心指导。由于那个时代的数学基础还十分有限，而莱布尼茨勤奋好学，莱布尼茨在数学上发明了微积分；发明了二进制，并制造了机械计算机；建立了行列式理论；发现了圆周率的无限级数表达式

圆周率的级数表示

这个公式结束了圆周率的精确计算的竞争，要知道在古代的数学上，圆周率的研究和计算一定程度上代表了该时代的数学水平。

莱布尼茨的数学学习虽然得到了惠更斯的指导，但他真正的老师好像是费尔马和帕斯卡尔，莱布尼茨在数学上的一生成就，大都与帕斯卡尔有着密切的关系，他始终关注着帕斯卡尔的研究。这在西方的数学史上并不罕见，反而是中国的古代数学所欠缺的。对于莱布尼茨来说，惠更斯、费尔马、尤其帕斯卡尔就是他的巨人。数学的研究需要这样的传承。