人造卫星及宇宙航行

一、卫星的动力学规律

由万有引力提供向心力，

二、卫星的各物理量随轨道半径变化的规律

1.线速度v：由得，可见，r越大，v越小;r越小，v越大。

2.角速度ω：由得，可见，r越大，ω越小;r越小，ω越大。

3.周期T：由得，可见，r越大，T越大;r越小，T越小。

4.向心加速度an：由得，可见，r越大，an越小;r越小，an越大。

以上结论可总结为“一定四定，越远越慢”。

三、卫星运行参量的比较与运算

卫星名称 离地面距离 运转周期 运转速率 近地卫星 0 84分钟（最小周期） 7.9 km/s（最大环绕速度） 神舟号飞船 350 km 90分钟 7.7 km/s 通讯同步卫星 36 000 km（约6R） 24小时 3.1 km/s 月球 3.8×105 km 27天 1.02 km/s 【典例1】（2014·天津卷）研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时。假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比

A.距地面的高度变大 B.向心加速度变大 C.线速度变大 D.角速度变大

【答案】A

【解析】地球的自转周期变大，则地球同步卫星的公转周期变大。由=m（R+h），得h=-R，T变大，h变大，A正确;由=ma，得a=，r增大，a减小，B错误;由=，得v=，r增大，v减小，C错误;由ω=可知，角速度减小，D错误。

【考点定位】万有引力定律的应用，人造卫星【典例2】（2011·天津卷）质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动。已知月球的质量为M，月球的半径为R，月球表面的重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的

A.线速度 B.角速度

C.运行周期 D.向心加速度

【答案】AC

【解析】根据卫星做圆周运动和万有引力等于重力得出，故A正确;，故B错误;，故C正确;故D错误。

【考点定位】万有引力定律

【典例3】（2015·福建卷）如图，若两颗人造卫星a和b均绕地球做匀速圆周运动，a、b到地心O的距离分别为r1、r2，线速度大小分别为v1、v2。则

A. B. C. D.

【答案】 A

【解析】由题意知，两颗人造卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据，得，所以，故A正确，BCD错误。

【考点定位】 天体运动

【名师点睛】本题主要是公式，卫星绕中心天体做圆周运动，万有引力提供向心力，由此得到线速度与轨道半径的关系。

【跟踪练习1】（2015·山东卷）如图，拉格朗日点L1位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动。据此，科学家设想在拉格朗日点L1建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动。以、分别表示该空间站和月球向心加速度的大小，表示地球同步卫星向心加速度的大小。以下判断正确的是

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】 因空间站建在拉格朗日点，故周期等于月球的周期，根据可知，a2>a1;对空间站和地球的同步卫星而言，因同步卫星周期小于空间站的周期则，同步卫星的轨道半径较小，根据可知a3>a2，故选项D正确。

【考点定位】万有引力定律的应用【名师点睛】此题考查了万有引力定律的应用，关键是知道拉格朗日点与月球周期的关系以及地球同步卫星的特点。

【跟踪练习2】（2015·广东卷）在星球表面发射探测器，当发射速度为v时，探测器可绕星球表面做匀速圆周运动;当发射速度达到v时，可摆脱星球引力束缚脱离该星球，已知地球、火星两星球的质量比约为10：1，半径比约为2：1，下列说法正确的有

A.探测器的质量越大，脱离星球所需的发射速度越大

B.探测器在地球表面受到的引力比在火星表面的大

C.探测器分别脱离两星球所需要的发射速度相等

D.探测器脱离星球的过程中势能逐渐变大

【答案】BD

【解析】探测器绕星球表面做匀速圆周运动的向心力由星球对它的万有引力提供，设星球质量为M，探测器质量为m，运行轨道半径为r，星球半径为R，根据万有引力定律有：F=，在星球表面时r=R，所以探测器在地球表面和在火星表面受到的引力之比为：==，故选项B正确;根据向心力公式有：，解得：，与探测器的质量m无关，探测器绕地球表面和绕火星表面做匀速圆周运动的速度大小之比为：，又因为发射速度达到时，探测器可摆脱星球引力束缚脱离该星球，故选项AC错误;探测器脱离星球的过程中，高度逐渐增大，其势能逐渐变大，故选项D正确。

【考点定位】万有引力定律的应用

【跟踪练习3】（2016·江苏卷）如图所示，两质量相等的卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，用R、T、Ek、S分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积。下列关系式正确的有

A.TA>TB B.EkA>EkB C.SA=SB D.

【答案】AD

【解析】根据知，轨道半径越大，周期越大，所以TA>TB，故A正确;由知，，所以vB>vA，又因为质量相等，所以EkB>EkA，故B错误;根据开普勒第二定律可知，同一行星与地心连线在单位时间内扫过的面积相等，所以C错误;由开普勒第三定律知，D正确。

【考点定位】考查天体运动

四、三种宇宙速度

宇宙速度 数值（km/s） 意义 第一宇宙速度 7.9 卫星的最小发射速度，若7.9 km/s≤v<11.2，物体绕地球运行 第二宇宙速度 11.2 物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度。若11.2 km/s≤v<16.7 km/s物体绕太阳运行 第三宇宙速度 16.7 物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，若v≥16.7 km/s，物体将脱离太阳系在宇宙空间运行 注意：

（1）第一宇宙速度的推导有两种方法：由得 ;由得。

（2）第一宇宙速度的公式不仅适用于地球，也适用于其他星球，只是M、R0、g必须与之相对应，不能套用地球的参数。

【典例4】（2013·新课标全国卷）2012年6月18日，神州九号飞船与天宫一号目标飞行器在离地面343 km的近圆轨道上成功进行了我国首次载人空间交会对接。对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气，下面说法正确的是

A.为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间

B.如不加干预，在运行一段时间后，天宫一号的动能可能会增加

C.如不加干预，天宫一号的轨道高度将缓慢降低

D.航天员在天宫一号中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用

【答案】BC

【解析】第一宇宙速度为最大环绕速度，天宫一号的线速度一定小于第一宇宙速度，故A错误;根据万有引力提供向心力有，则轨道高度降低，卫星的线速度增大，故动能将增大，所以B正确;卫星本来由万有引力提供向心力即，但由于摩擦阻力作用卫星的线速度减小，提供的引力大于卫星所需要的向心力，故卫星将做近心运动，即轨道半径将减小，故C正确;失重状态说明航天员对悬绳或支持物体的压力为0，而地球对他的万有引力提供他随天宫一号围绕地球做圆周运动的向心力，所以D错误。

【考点定位】万有引力定律、匀速圆周运动、失重和超重

【典例5】理论研究表明，物体在地球附近都受到地球对它的万有引力作用，具有引力势能。设物体在距地球无限远处的引力势能为零，则引力势能可表示为Ep=-G，其中G是引力常量，M是地球的质量（地球的质量M未知），m是物体的质量，r是物体距地心的距离。已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，求：

（1）第一宇宙速度;

（2）第二宇宙速度。

【答案】（1）（2）

【解析】（1）第一宇宙速度为绕地球表面做匀速圆周运动的速度，有

不考虑地球自转的影响，地球表面上物体所受的重力近似等于其受到的万有引力，，得GM=R2g

联立以上两式得

（2）第二宇宙速度为脱离地球的速度，到无穷远处速度为0。设第二宇宙速度的值为v2，由发射点和无限远机械能相等得，，故【名师点拨】本题是一道信息给予题，即给出空间任一点的引力势能的大小的计算式。本题的难点在于正确理解第二宇宙速度的含义：即在地球表面所应给物体的最小发射速度。此时物体具有的总能量应与其他任一位置的总能量相等，而物体脱离地球，不受地球的束缚，说明地球对其引力应为零，知r→∞，故此位置Ep=0，到此位置动能恰为0，也正好脱离了地球的束缚。由此可见充分利用题目所给条件，正确理解基本概念是解题的关键，由解得结果知v2=v1。

【跟踪练习】发射人造卫星是将卫星以一定的速度送入预定轨道。发射场一般选择在尽可能靠近赤道的地方，如图所示这样选址的优点是，在赤道附近

A.地球的引力较大 B.地球自转线速度较大

C.重力加速度较大 D.地球自转角速度较大

【答案】B

【解析】若将地球视为一个球体，则在地球上各处的引力大小相同，选项A错误;在地球上各处的角速度相同，选项D错误;在赤道上的重力加速度最小，选项C错误;由于发射卫星需要将卫星以一定的速度送入运动轨道，在靠近赤道处的地面上的物体的线速度最大，发射时较节能，因此选项B正确。

【考点定位】人造卫星

五、卫星变轨问题

人造地球卫星发射过程要经过多次变轨，如图所示，我们从以下几个方面讨论：

1.变轨原理及过程

（1）为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道上。

（2）卫星在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道。

（3）在B点（远地点）再次点火加速进入圆轨道。

2.一些物理量的定性分析

（1）速度：设卫星在圆轨道和上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道上过a点和b点时速率分别为vA、vB。在A点加速，则vA>vB，在B点加速，v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB。

（2）加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道还是轨道上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同。

（3）周期：设卫星在、、轨道上运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2（半长轴）、r3，由开普勒第三定律可知T1

（4）如果卫星的轨道半径r减小，线速度v将增大，周期T将减小，向心加速度a将增大，动能Ek将增加，势能Ep将减少。

【典例6】由中国航天科技集团公司五院自主研制的电推进系中2015年1月2日取得重要成果;电推进系统在试验中已突破6 000小时，开关机3 000次，具备确保该卫星在轨可靠运行15年的能力，如图所示为应用该系统的三颗卫星a、b、c绕地球做匀速圆周运动的示意图，其中b、c都在半径为r的轨道上，a是地球同步卫星，此时a、b恰好相距最近，已知地球质量为M，半径为R，地球自转的角速度为，引力常量为G，则

A.卫星b的周期小于24小时

B.卫星b和c的机械能相等

C.到卫星a和b下一次相距最近，还需经过时间

D.卫星a的动能较大

【答案】C

【解析】根据公式可得，半径越大，周期越大，所以b的周期大于a的运动周期，即卫星b的周期大于24小时，A错误，由于b、c的质量关系未知，所以两者的机械能不一定相等，B错误;b、c在地球的同步轨道上，所以卫星b、c和地球具有相同的周期和角速度。由万有引力提供向心力，即，，根据，解得，故C正确;根据可得，即a的速度最大，但是不知道a的质量，所以a的动能不一定最大，D错误;

【考点定位】考查了万有引力定律的应用

【名师点睛】在万有引力这一块，涉及的公式和物理量非常多，掌握公式在做题的时候，首先明确过程中的向心力，然后弄清楚各个物理量表示的含义，最后选择合适的公式分析解题，另外这一块的计算量一是非常大的，所以需要细心计算。

【典例7】小型登月器连接在航天站上，一起绕月球做圆周运动，其轨道半径为月球半径的3倍。某时刻，航天站使登月器减速分离，登月器沿如图所示的椭圆轨道登月，在月球表面逗留一段时间完成科考工作后，经快速启动仍沿原椭圆轨道返回。当第一次回到分离点时恰与航天站对接。登月器快速启动时间可以忽略不计，整个过程中航天站保持原轨道绕月运行。已知月球表面的重力加速度为g0，月球半径为R，不考虑月球自转的影响，则登月器可以在月球上停留的最短时间约为

A.B. C. D.

【答案】A

【解析】由题意可知，航天站轨道半径为3R，设航天站转一周的时间为T，则有，对月球表面的物体有，联立两式得。登月器的登月轨道是椭圆，从与航天站分离到第一次回到分离点所用时间为沿椭圆运动一周的时间T′和在月球上停留时间t之和，若恰好与航天站运行一周所用时间相同时t最小，则有tmin+T′=T，由开普勒第三定律有，得，则，所以只有A对。

【考点定位】万有引力定律，开普勒第三定律

【跟踪练习】2013年12月10日21时20分，“嫦娥三号”发动机成功点火，开始实施变轨控制，由距月面平均高度100 km的环月轨道成功进入近月点高15 km、远月点高100 km的椭圆轨道。关于“嫦娥三号”，下列说法正确的是

A.“嫦娥三号”的发射速度大于7.9 km/s

B.“嫦娥三号”在环月轨道上的运行周期大于在椭圆轨道上的运行周期

C.“嫦娥三号”变轨前沿圆轨道运行的加速度大于变轨后通过椭圆轨道远月点时的加速度

D.“嫦娥三号”变轨前需要先点火加速

【答案】AB

【解析】 7.9 km/s是人造卫星的最小发射速度，要想往月球发射人造卫星，发射速度必须大于7.9 km/s，A对;“嫦娥三号”距月面越近运行周期越小，B对;飞船变轨前沿圆轨道运动时只有万有引力产生加速度，变轨后通过椭圆轨道远月点时也是只有万有引力产生加速度，所以两种情况下的加速度相等，C错;“嫦娥三号”变轨前需要先点火减速，才能做近心运动，D错。

【考点定位】万有引力定律，人造卫星。的人造地球卫星与地心的距离为时，重力势能可表示为，其中G为引力常量，M为地球质量。该卫星原来的半径为的轨道上绕地球做匀速圆周运动，由于受到及稀薄空气的摩擦作用，飞行一段时间后其圆周运动的半径变为，此过程中因摩擦而产生的热量为

A. B. C. D.

【】【解析】时①，卫星的引力势能为②，轨道半径为时③，卫星的引力势能为④，设摩擦而产生的热量为，根据能量守恒定律得： ⑤，联立①～⑤得，故选项D正确。

【考点定位】万有引力定律及其应用、重力势能的变化与重力做功的关系

【名师点睛】圆形轨道和半径为的圆形轨道上的动能，从而得知动能的减小量，通过引力势能公式求出势能的增加量，根据能量守恒求出热量。