幻方问题

【含义】

把n×n个自然数排在正方形的格子中，使各行、各列以及对角线上的各数之和都相等，这样的图叫做幻方。最简单的幻方是三级幻方。

【数量关系】

每行、每列、每条对角线上各数的和都相等，这个“和”叫做“幻方”的和。

三级幻方的幻和＝45÷3＝15

五级幻方的幻和＝325÷5＝65

【解题思路和方法】

首先要确定每行、每列以及每条对角线上各数的和(即幻和)其次是确定正中间方格的数，然后再确定其它方格中的数。

例1：把1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数填入九个方格中，使每行、每列、每条对角线上三个数的和相等。

解：幻和的3倍正好等于这九个数的和，所以幻和为(1+2+3+4+5+6+7+8+9)÷3=45÷3=15，九个数在这八条线上反复出现构成幻和时，每个数用到的次数不全相同，最中心的那个数要用到四次(即出现在中行、中列、和两条对角线这四条线上)，四角的四个数各用到三次，其余的四个数各用到两次。看来，用到四次的“中心数”地位重要，宜优先考虑。

设“中心数”为X，因为X出现在四条线上，而每条线上三个数之和等于15，所以(1+2+3+4+5+6+7+8+9)(4-1)X=15×4

即45+3X＝60

所以X＝5

接着用奇偶分析法寻找其余四个偶数的位置，它们分别在四个角，再确定其余四个奇数的位置，它们分别在中行、中列，进一步尝试，容易得到正确的结果。

如图：

例2：把2，3，4，5，6，7，8，9，10这九个数填到九个方格中，使每行、每列、以及对角线上的各数之和都相等。

解：只有三行，三行用完了所给的9个数，所以每行三数之和为(2+3+4+5+6+7+8+9+10)÷3＝18

假设符合要求的数都已经填好，那么三行、三列、两条对角线共8行上的三个数之和都等于18，我们看18能写成哪三个数之和：

最大数是10：18＝10+6+2＝10+5+3

最大数是9：18＝9+7+2＝9+6+3＝9+5+4

最大数是8：18＝8+7+3＝8+6+4

最大数是7：18＝7+6+5

刚好写成8个算式。

首先确定正中间方格的数。第二横行、第二竖行、两个斜行都用到正中间方格的数，共用了四次。

观察上述8个算式，只有6被用了4次，所以正中间方格中应6

然后确定四个角的数。四个角的数都用了三次，而上述8个算式中只有9、7、5、3被用了三次，所以9、7、5、3应填在四个角上。但还应兼顾两条对角线上三个数的和都为18。

最后确定其它方格中的数。如图：